Question

（1）已知雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，它們的離心率之和為，求雙曲線方程．
（2）P為橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁和F₂是其焦點(diǎn)，若∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

解：（1）∵橢圓焦點(diǎn)為F（±4，0），離心率為e=，而雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，
∴雙曲線的焦點(diǎn)為F（±4，0），又它們的離心率之和為，
設(shè)該雙曲線的離心率為e，則e+=，
∴e=2，即=2，而c=4，
∴a=2，b=2．
∴雙曲線方程為：；
（2）∵橢圓方程是，
∴a²=100，b²=64．可得a=10，c²=100-64=36，即c=6．
∵P是橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是焦點(diǎn)，
∴根據(jù)橢圓的定義，得PF₁+PF₂=2a=20…①
又∵△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°且F₁F₂=2c=12
∴根據(jù)余弦定理，得F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos60°=144，
即PF₁²+PF₂²-PF₁•PF₂=144…②
∴①②聯(lián)解，得PF₁•PF₂=
∴△PF₁F₂的面積為：S=PF₁•PF₂sin60°=．
分析：（1）由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸，并求得焦點(diǎn)為F（±4，0），離心率為2，從而求出c，a，b得到雙曲線方程；
（2）根據(jù)橢圓的定義，得PF₁+PF₂=2a…①，再在△F₁PF₂中用余弦定理，得PF₁²+PF₂²-PF₁•PF₂…②．由①②聯(lián)解，得PF₁•PF₂，最后用根據(jù)正弦定理關(guān)于面積的公式，可得△PF₁F₂的面積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，掌握橢圓、雙曲線的方程與性質(zhì)是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．