Question

11．已知函數(shù)f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-sinxcosx+$\frac{1}{4}$．
（1）化簡(jiǎn)f（x）的解析式，并寫(xiě)出f（x）的最小正周期；
（2）求當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)可得函數(shù)解析式為f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），由三角函數(shù)的周期性及其求法可求函數(shù)的最小正周期；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-sinxcosx+$\frac{1}{4}$
=（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{4}$cos²-$\frac{3}{4}$sin²x-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{4}$
=$\frac{1+cos2x}{8}$-$\frac{3-3cos2x}{8}$-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$（cos2x-sin2x）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
函數(shù)f（x）的最小正周期為T=π，
（2）由$x∈[0，\frac{π}{2}]$，得$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$，$cos（2x+\frac{π}{4}）∈[-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
所以當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域?yàn)?[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{1}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．