定義雙曲正弦函數(shù)y=sin hx=
1
2
(ex-e-x),雙曲余弦函數(shù)y=cos hx=
1
2
(ex+e-x).
(1)各寫出四條雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì).(定義域除外)
(2)給出雙曲正切函數(shù)、雙曲余切函數(shù)、雙曲正割函數(shù)和雙曲余割函數(shù)的定義式,探究并證明六者間的平方關(guān)系.
(3)模仿三角函數(shù)中兩角的和與差關(guān)系,探究并證明雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)和雙曲正切函數(shù)的“兩角”和與差關(guān)系.
分析:(1)由sin hx=
1
2
(ex-e-x) 是奇函數(shù),單調(diào)遞增,無周期性,值域為R.同理寫出cos hx=
1
2
(ex+e-x)的性質(zhì).
(2)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得雙曲正切函數(shù)、雙曲余切函數(shù)、雙曲正割函數(shù)和雙曲余割函數(shù)的定義式,計算求得 cos h2(x)-sin h2(x)=1;cot h2(x)-csc h2(x)=1;tan h2(x)+sec h2(x)=1.
(3)利用兩角和差的三角公式,寫出sin h(x+y)、sin h(x-y)、cos h(x+y)、tan h(x+y)及tan h(x-y )的表達(dá)式.
解答:解:(1)sin hx=
1
2
(ex-e-x)  奇函數(shù),單調(diào)遞增,無周期性,值域為R.
cos hx=
1
2
(ex+e-x) 偶函數(shù),R上無單調(diào),無周期性,值域為[1,+∞).
(2)tan hx=
sinhx
coshx
;cot hx=
coshx
sinhx
;sec hx=
1
coshx
;csc hx=
1
sinhx

cos h2(x)-sin h2(x)=1;cot h2(x)-csc h2(x)=1;tan h2(x)+sec h2(x)=1.
(3)sin h(x+y)=sin h(x)•cos h(y)+cos h(x)•sin h(y),
sin h(x-y)=sin h(x)•cos h(y)-cos h(x)•sin h(y),
cos h(x+y)=cos h(x)•cos h(y)+sin h(x)•sin h(y),
cos h(x-y)=cos h(x)•cos h(y)-sin h(x)•sin h(y),
tan h(x+y)=
tanh(x)+tanh(y)
1+tanh(x)•tanh(y)
;tan h(x-y)=
tanh(x)-tanh(y)
1-tanh(x)•tanh(y)
點(diǎn)評:本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的三角公式的應(yīng)用,是一道基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

常數(shù)e=
lim
n→∞
(1+
1
n
)n=2.718281828459…
,定義函數(shù)f(x)=
ex-e-x
2
為雙曲正弦函數(shù),記為sinhx,定義函數(shù)g(x)=
ex+e-x
2
為雙曲余弦函數(shù),記為coshx.則以下三個命題正確的是
(2)
(2)
.(只需填正確命題序號)
(1)cosh(x+y)=coshx•coshy-sinhx•sinhy;
(2)sinh(x+y)=sinhx•coshy+coshx•sinhy;
(3)(sinhx)2-(coshx)2=1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

定義雙曲正弦函數(shù)y=sin hx=數(shù)學(xué)公式(ex-e-x),雙曲余弦函數(shù)y=cos hx=數(shù)學(xué)公式(ex+e-x).
(1)各寫出四條雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì).(定義域除外)
(2)給出雙曲正切函數(shù)、雙曲余切函數(shù)、雙曲正割函數(shù)和雙曲余割函數(shù)的定義式,探究并證明六者間的平方關(guān)系.
(3)模仿三角函數(shù)中兩角的和與差關(guān)系,探究并證明雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)和雙曲正切函數(shù)的“兩角”和與差關(guān)系.

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常數(shù),定義函數(shù)為雙曲正弦函數(shù),記為sinhx,定義函數(shù)為雙曲余弦函數(shù),記為coshx.則以下三個命題正確的是    .(只需填正確命題序號)
(1)cosh(x+y)=coshx•coshy-sinhx•sinhy;
(2)sinh(x+y)=sinhx•coshy+coshx•sinhy;
(3)(sinhx)2-(coshx)2=1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年上海市高考數(shù)學(xué)模擬試卷1(理科)(解析版) 題型:解答題

定義雙曲正弦函數(shù)y=sin hx=(ex-e-x),雙曲余弦函數(shù)y=cos hx=(ex+e-x).
(1)各寫出四條雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì).(定義域除外)
(2)給出雙曲正切函數(shù)、雙曲余切函數(shù)、雙曲正割函數(shù)和雙曲余割函數(shù)的定義式,探究并證明六者間的平方關(guān)系.
(3)模仿三角函數(shù)中兩角的和與差關(guān)系,探究并證明雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)和雙曲正切函數(shù)的“兩角”和與差關(guān)系.

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