Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{4-{8^x}}$．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）若f（x）≤1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由解析式列出不等式，由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出函數(shù)的定義域，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出值域；
（2）由解析式化簡(jiǎn)f（x）≤1，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出不等式的解集．

解答 解：（1）由題意得，4-8^x≥0，
則2^3x≤2²，即3x≤2，解得x≤$\frac{2}{3}$，
所以函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，$\frac{2}{3}$]；
又4-8^x＜4，所以$0≤\sqrt{4-{8^x}}＜2$，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，2）．
（2）由f（x）≤1得，$\sqrt{4-{8^x}}≤1$，
則0≤4-8^x≤1，即3≤8^x≤4，
兩邊取以8為底的對(duì)數(shù)，解得${log_8}3≤x≤\frac{2}{3}$，
所以不等式的解集是$[lo{g}_{8}3，\frac{2}{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)不等式的解法，指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，函數(shù)的定義域，以及對(duì)數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．