Question

20．已知圓C：（x-a）²+（y-a）²=2，（a＞0）與直線y=2x相交于P，Q兩點(diǎn)，則當(dāng)△CPQ的面積最大時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，利用圓心到直線的距離與半弦長(zhǎng)求解三角形的面積，然后求出最大值即可得到實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：圓C：（x-a）²+（y-a）²=2（a＞0）的圓心（a，a）半徑為$\sqrt{2}$，
圓心到直線y=2x的距離d=$\frac{|2a-a|}{\sqrt{5}}=\frac{a}{\sqrt{5}}$，半弦長(zhǎng)為：$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{a}{\sqrt{5}}）^{2}}=\sqrt{2-\frac{{a}^{2}}{5}}$，
∴△CPQ的面積S=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{2-\frac{{a}^{2}}{5}}$•$\frac{a}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{5}（2-\frac{{a}^{2}}{5}）}$，故當(dāng)$\frac{{a}^{2}}{5}=1$，即a=$\sqrt{5}$時(shí)，S取得最大值為1，
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，三角形面積的最值的求法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用等知識(shí)，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是中檔題．