Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為

1

2

，一個(gè)焦點(diǎn)是F（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)F分向量

AB

所成的比為2，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．依題意知c=1，∴a=2，b²=a²-c²=3，（2分），由此可知所求橢圓方程為

y2

4

+

x2

3

=1．
（Ⅱ）若直線(xiàn)l的斜率k不存在，則不滿(mǎn)足|AF|=2|FB|．當(dāng)直線(xiàn)l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+1．因?yàn)橹本�(xiàn)l過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F（0，1），所以k取任何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)l與橢圓均有兩個(gè)交點(diǎn)A、B．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程

y=kx+1 y2 4 + x2 3 =1.

消去y，得（3k²+4）x²+6kx-9=0．然后由根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．（1分）
依題意，e=

c

a

=

1

2

，c=1，∴a=2，b²=a²-c²=3，（2分）
∴所求橢圓方程為

y2

4

+

x2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）若直線(xiàn)l的斜率k不存在，則不滿(mǎn)足|AF|=2|FB|．
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+1．因?yàn)橹本�(xiàn)l過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F（0，1），所以k取任何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)l與橢圓均有兩個(gè)交點(diǎn)A、B．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程

y=kx+1 y2 4 + x2 3 =1.

消去y，得（3k²+4）x²+6kx-9=0．（6分）
∴x1+x2=

-6k

3k2+4

，①x1•x2=

-9

3k2+4

，②
由F（0，1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

AF

=(-x1，1-y1)，

FB

=(x2，y2-1)，
∵

AF

=2

FB

，∴（-x₁，1-y₁）=2（x₂，y₂-1），得x₁=-2x₂．（8分）
將x₁=-2x₂代入①、②，得x2=

6k

3k2+4

，③

x

2 2

=

9

6k2+8

，④（10分）
由③、④得，(

6k

3k2+4

)2=

9

6k2+8

，化簡(jiǎn)得

36k2

3k2+4

=

9

2

，
解得k2=

4

5

，k=±

2 5

5

；
∴直線(xiàn)l的方程為：y=±

2 5

5

x+1．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．