Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線(xiàn)l：y=k（x+1）與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且|$\overrightarrow{{F}_{2}M}$+$\overrightarrow{{F}_{2}N}$|=$\frac{2\sqrt{26}}{3}$，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的斜率公式，將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求得a和b的方程，即可求得橢圓方程；
（2）將直線(xiàn)方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)，利用向量的模長(zhǎng)公式即可求得k的值，求得橢圓方程．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a²=2b²，
將$（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$，解得：a²=2，b²=1，
∴求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；   …（4分）
（2）設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消元得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2k}$，
∴y₁y₂=k（x₁+x₁+2）=$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，
又∵$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=（x₂-1，y₂），則$\overrightarrow{{F}_{2}M}$+$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=（x₁+x₂-2，y₁+y₂），
∴|$\overrightarrow{{F}_{2}M}$+$\overrightarrow{{F}_{2}N}$|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}-2）^{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{8{k}^{2}+2}{1+2{k}^{2}}）^{2}+（\frac{2k}{1+2{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{26}}{3}$，
化簡(jiǎn)得40k⁴-23k²-17=0，
解得k²=1或k²=-$\frac{17}{40}$（舍去），則k=±1，
∴所求直線(xiàn)l的方程為y=x+1，y=-x-1．     …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．