精英家教網(wǎng)已知⊙O:x2+y2=1和點(diǎn)M(4,2).
(Ⅰ)過點(diǎn)M向⊙O引切線l,求直線l的方程;
(Ⅱ)求以點(diǎn)M為圓心,且被直線y=2x-1截得的弦長為4的⊙M的方程;
(Ⅲ)設(shè)P為(Ⅱ)中⊙M上任一點(diǎn),過點(diǎn)P向⊙O引切線,切點(diǎn)為Q.試探究:平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)R,使得
PQPR
為定值?若存在,請舉出一例,并指出相應(yīng)的定值;若不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)找出圓的圓心坐標(biāo)和半徑,設(shè)切線方程的斜率為k,由M的坐標(biāo)和k寫出切線l的方程,然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d讓d等于半徑r得到關(guān)于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,寫出直線l的方程即可;
(Ⅱ)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出M到已知直線的距離d,然后利用勾股定理即可求出圓M的半徑,根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可;
(Ⅲ)假設(shè)存在這樣的R點(diǎn),設(shè)出R的坐標(biāo),并設(shè)出P的坐標(biāo),根據(jù)圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑得到三角形OPQ為直角三角形,根據(jù)勾股定理表示出PQ的長,然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出PR的長,設(shè)PQ與PR之比等于λ,把PQ和PR的式子代入后兩邊平方化簡得到一個(gè)關(guān)系式記作(*),又因?yàn)镻在⊙M上,所以把P的坐標(biāo)當(dāng)然到⊙M的方程中,化簡后代入到(*)中,根據(jù)多項(xiàng)式對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等即可求出R的坐標(biāo)和λ的值.
解答:解:(Ⅰ)由⊙O:x2+y2=1得到圓心O(0,0)半徑r=1,
設(shè)切線l方程為y-2=k(x-4),
易得
|4k-2|
k2+1
=1
,解得k=
19
15

∴切線l方程為y-2=
19
15
(x-4)
;
(Ⅱ)圓心M到直線y=2x-1的距離d=
|5|
1+4
=
5

設(shè)圓的半徑為r,則r2=22+(
5
)2=9
,
∴⊙M的方程為(x-4)2+(y-2)2=9;

(Ⅲ)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)R(a,b),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),相應(yīng)的定值為λ,
根據(jù)題意可得PQ=
x2+y2-1

x2+y2-1
(x-a)2+(y-b)2
,
即x2+y2-1=λ2(x2+y2-2ax-2by+a2+b2)(*),
又點(diǎn)P在圓上∴(x-4)2+(y-2)2=9,
即x2+y2=8x+4y-11,代入(*)式得:
8x+4y-12=λ2[(8-2a)x+(4-2b)y+(a2+b2-11)],
若系數(shù)對應(yīng)相等,則等式恒成立,∴
λ2(8-2a)=8
λ2(4-2b)=4
λ2(a2+b2-11)=-12
,
解得a=2,b=1,λ=
2
或a=
2
5
,b=
1
5
,λ=
10
3

∴可以找到這樣的定點(diǎn)R,使得
PQ
PR
為定值.
如點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2,1)時(shí),比值為
2
;點(diǎn)R的坐標(biāo)為(
2
5
1
5
)
時(shí),比值為
10
3
點(diǎn)評:此題考查學(xué)生掌握直線與圓的位置關(guān)系,靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式及點(diǎn)到直線的距離公式化簡求值,會(huì)根據(jù)圓心坐標(biāo)和圓的半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,是一道綜合題.
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(2011•江蘇模擬)已知⊙O:x2+y2=1和定點(diǎn)A(2,1),由⊙O外一點(diǎn)P(a,b)向⊙O引切線PQ,切點(diǎn)為Q,且滿足|PQ|=|PA|.
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(2)求線段PQ長的最小值;
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(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)已知⊙O:x2+y2=r2(r>0)的切線l總與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)M、N,并且其中一條切線滿足∠MON>90°,求證:對于任意一條切線l總有∠MON>90°.

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(2012•黃州區(qū)模擬)已知⊙O:x2+y2=4及點(diǎn)A(1,3),BC為⊙O的任意一條直徑,則
AB
AC
=(  )

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已知⊙O:x2+y2=25與⊙O1x2+y2-6
2
x+6
2
y+11=0
關(guān)于直線l對稱,則直線l被⊙O截得的線段長為(  )

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