（ 10分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的動直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)．

（I）若動點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；

（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由．

 

【答案】

解：由條件知，，設(shè)，．

解法一：（I）設(shè)，則，，

，由得

即  于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)不與軸垂直時，，即．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052207465443759002/SYS201205220749032031986338_DA.files/image017.png">兩點(diǎn)在雙曲線上，所以，，兩式相減得

，即．

將代入上式，化簡得．

當(dāng)與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．

所以點(diǎn)的軌跡方程是．

（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．

當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是．

代入有．

則是上述方程的兩個實(shí)根，所以，，

于是

．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052207465443759002/SYS201205220749032031986338_DA.files/image025.png">是與無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時=．

當(dāng)與軸垂直時，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，，

此時．

故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．

 

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年龍巖一中沖刺文）（分）已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，右準(zhǔn)線為一條漸近線的方程是過雙曲線C的右焦點(diǎn)F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點(diǎn)，R是弦PQ的中點(diǎn).

   （1）求雙曲線C的方程；

   （2）若A、B分別是雙曲C上兩條漸近線上的動點(diǎn)，且2|AB|=|F1F2|，求線段AB的中點(diǎn)M的跡方程，并說明該軌跡是什么曲線。

   （3）若在雙曲線右準(zhǔn)線L的左側(cè)能作出直線m:x=a，使點(diǎn)R在直線m上的射影S滿足，當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動時，求a的取值范圍.

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