Question

選做題：考生在下面兩小題中，任選一道作答，如果全做則按第1小題評(píng)分．
（1）《幾何證明選講》選做題
如圖，半徑分別為a和3a的圓O₁與圓O₂外切于T，自圓O₂上一點(diǎn)P引圓O₁的切線，切點(diǎn)為Q，若PQ=2a，則PT=

2 6

3

a

．
（2）《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》選做題
從極點(diǎn)O作射線交直線ρcosθ=3于點(diǎn)M，P為線段OM上的點(diǎn)，且|OM|•|OP|=12，則P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為

p=4cosθ

．

Answer 1

分析：（1）如圖根據(jù)自圓O₂上一點(diǎn)P引圓O₁的切線，切點(diǎn)為Q，得到PQ⊥QO₁，利用勾股定理得PO₁的長(zhǎng)，再在三角形PO₁O₂中，由余弦定理得cos∠PO₁O₂，最后在三角形PO₁T中，再次利用余弦定理即可求出PT．
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ρ，θ），M的坐標(biāo)為（ρ₀，θ），則ρρ₀=12，由ρ₀cosθ=3，得到ρ=4cosθ即為所求；

解答：解：（1）如圖，∵自圓O₂上一點(diǎn)P引圓O₁的切線，切點(diǎn)為Q，
∴PQ⊥QO₁，
∴PO₁=

PQ2+Q O  2 1

=

4a2+a2

=

5

a，
在三角形PO₁O₂中，由余弦定理得：
cos∠PO₁O₂=

( 5 a)2+(3a)2-(4a)2

2× 5 a×3a

=

5

3

，
所以在三角形PO₁T中，
PT=

( 5 a)2+a2-2× 5 a×a× 5 3

=

2 6

3

a，
故答案為：

2 6

3

a．
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ρ，θ），M的坐標(biāo)為（ρ₀，θ），
則ρρ₀=12．
∵ρ₀cosθ=3，
∴ρ=4cosθ，即為所求的軌跡方程．
故答案為：ρ=4cosθ．

點(diǎn)評(píng)：（1）本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、與圓有關(guān)的線段及解三角形的有關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
（2）考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，以及會(huì)求簡(jiǎn)單軌跡的極坐標(biāo)方程．