17.如圖,已知三棱錐O-ABC,OA=4,OB=5,OC=3,∠AOB=∠BOC=60°,∠COA=90°,M,N分別是OA,BC的中點(diǎn),設(shè)$\overrightarrow{OA}$=a,$\overrightarrow{OB}$=b,$\overrightarrow{OC}$=c.
(Ⅰ)用a,b,c表示$\overrightarrow{MN}$和$\overrightarrow{AC}$;
(Ⅱ)求直線MN與直線AC所成的角的余弦值.

分析 (Ⅰ)由$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$,$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$,能用$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$,$\overrightarrow{c}$表示$\overrightarrow{MN}$和$\overrightarrow{AC}$.
(Ⅱ)設(shè)直線MN與AC所成的角為θ,則$cosθ=|{cos<\overrightarrow{MN},\overrightarrow{AC}>}|=|{\frac{{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{MN}}||{\overrightarrow{AC}}|}}}|$.由此能求出直線MN與直線AC所成的角的余弦值.

解答 解:(Ⅰ)∵三棱錐O-ABC,OA=4,OB=5,OC=3,∠AOB=∠BOC=60°,∠COA=90°,
M,N分別是OA,BC的中點(diǎn),設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$,$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$.
∴$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}(\overrightarrow+\overrightarrow{c})$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{2}(\overrightarrow+\overrightarrow{c})-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{2}(\overrightarrow+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})$,(2分)
$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$.(4分)
(Ⅱ)設(shè)直線MN與AC所成的角為θ,
則$|\overrightarrow{MN}{|}^{2}$=$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{4}(\overrightarrow+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})(\overrightarrow+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})$
=$\frac{1}{4}({\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}+2\overrightarrow•\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c})$
=$\frac{1}{4}({4^2}+{5^2}+{3^2}+15-20-0)=\frac{45}{4}$.(6分)
$|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AC}$=($\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$)($\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$)=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=42+32-0=25.(8分)
$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}(\overrightarrow+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})$=$\frac{1}{2}(\overrightarrow•\overrightarrow{c}+{\overrightarrow{c}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+{\overrightarrow{a}}^{2})$=$\frac{1}{2}(\frac{15}{2}+9-10-0+16)=\frac{45}{4}$.(10分)
∴$cosθ=|{cos<\overrightarrow{MN},\overrightarrow{AC}>}|=|{\frac{{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{MN}}||{\overrightarrow{AC}}|}}}|=\frac{{\frac{45}{4}}}{{\sqrt{\frac{45}{4}}×5}}=\frac{{3\sqrt{5}}}{10}$.
∴直線MN與直線AC所成的角的余弦值為$\frac{3\sqrt{5}}{10}$.(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的表示,考查兩直線夾角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量加法法則的合理運(yùn)用.

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