Question

（I）設是各項均不為零的等差數(shù)列，且公差，若將此數(shù)列刪去某一項得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列：

①當時，求的數(shù)值；②求的所有可能值；

（II）求證：對于一個給定的正整數(shù)，存在一個各項及公差都不為零的等差數(shù)列，其中任意三項（按原來的順序）都不能組成等比數(shù)列。

 

Answer 1

【答案】

（I）①；②

（II）略

【解析】本小題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運用。

（I）①當時， 中不可能刪去首項或末項，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項成等比數(shù)列，則。

若刪去，則有，即，化簡得；

若刪去，則有，即，化簡得。

綜上可知。

②當時， 中同樣不可能刪去首項或末項。

若刪去，則有，即，化簡得；

若刪去，則有，即，化簡得，舍去；

若刪去，則有，即，化簡得。

當時，不存在這樣的等差數(shù)列。事實上，在數(shù)列中，由于不能刪去首項和末項，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去，也有，這與矛盾；若刪去中的任意一個，則必有，這與矛盾。綜上可知。

（II）略