【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓
經(jīng)過點(diǎn)
,離心率為
. 已知過點(diǎn)
的直線
與橢圓
交于
兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)試問軸上是否存在定點(diǎn)
,使得
為定值.若存在,求出點(diǎn)
的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)
.
【解析】分析:(1)先根據(jù)已知得到三個(gè)方程解方程組即得橢圓C的方程. (2) 設(shè)N(n,0),先討論l斜率不存在的情況得到n=4,再證明當(dāng)N為(4,0)時(shí),對斜率為k的直線l:y=k(x-),恒有
=12.
詳解:(1)離心率e=,所以c=
a,b=
=
a,
所以橢圓C的方程為.
因?yàn)闄E圓C經(jīng)過點(diǎn),所以
\,
所以b2=1,所以橢圓C的方程為.
(2)設(shè)N(n,0),
當(dāng)l斜率不存在時(shí),A(,y),B(
,-y),則y2=1-
=
,
則=(
-n)2-y2=(
-n)2-
=n2-
n-
,
當(dāng)l經(jīng)過左span>右頂點(diǎn)時(shí),=(-2-n)(2-n)=n2-4.
令n2-n-
=n2-4,得n=4.
下面證明當(dāng)N為(4,0)時(shí),對斜率為k的直線l:y=k(x-),恒有
=12.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y,得(4k2+1)x2-
k2x+
k2-4=0,
所以x1+x2=,x1x2=
,
所以=(x1-4)(x2-4)+y1y2
=(x1-4)(x2-4)+k2(x1-)(x2-
)
=(k2+1)x1x2-(4+k2)(x1+x2)+16+
k2
=(k2+1) -(4+
k2)
+16+
k2
=+16=12.
所以在x軸上存在定點(diǎn)N為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間
上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,側(cè)面
底面
,
,底面
是直角梯形,
.
(1)求證:平面
;
(2)設(shè)為側(cè)棱
上一點(diǎn),
,試確定
的值,使得二面角
的大小為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線
過原點(diǎn),傾斜角為
,圓
的圓心為
,半徑為2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)分別寫出直線和圓
的極坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn)為極軸與圓
的交點(diǎn)(異于極點(diǎn)),點(diǎn)
為直線與圓
在第二象限的交點(diǎn),求
的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國明代珠算家程大位的名著《直指算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“今有白米一百八十石,令三人從上及和減率分之,只云甲多丙米三十六石,問:各該若干?”其意思為:“今有白米一百八十石,甲、乙、丙三人來分,他們分得的白米數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少白米?”請問:乙應(yīng)該分得( )白米
A. 96石B. 78石C. 60石D. 42石
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知菱形的對角線
,
交于點(diǎn)
,
,
,將
沿
折起,使點(diǎn)
到達(dá)點(diǎn)
位置,滿足
為等邊三角形.
(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.向量=(a,
b)與
=(cosA,sinB)平行.
(1)求A;
(2)若a=,b=2,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線
在
處的切線交
軸于點(diǎn)
.
(1)求的值;
(2)若對于內(nèi)的任意兩個(gè)數(shù)
,
,當(dāng)
時(shí),
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)若,求
的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)在
上的最值;
(3)當(dāng)時(shí),若函數(shù)
恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
,求
的取值范圍.
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