【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP=

(1)求證:AB⊥PC;
(2)求二面角B一PC﹣D的余弦值.

【答案】
(1)證明:取AB的中點(diǎn)O,連接PO,CO,AC,

∵△APB為等腰三角形,∴PO⊥AB

又∵四邊形ABCD是菱形,∠BCD=120°,

∴△ACB是等邊三角形,∴CO⊥AB…

又CO∩PO=O,∴AB⊥平面PCO,

又PC平面PCO,∴AB⊥PC


(2)解:∵ABCD為菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP= ,

∴PO=1,CO= ,∴OP2+OC2=PC2

∴OP⊥OC,

以O(shè)為原點(diǎn),OC為x軸,OB為y軸,OP為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,﹣1,0),B(0,1,0),C( ,0,0),

P(0,0,1),D( ,﹣2,0),

=( ,﹣1,0), =( ), =(0,2,0),

設(shè)平面DCP的法向量 =(x,y,z),

,令x=1,得 =(1,0, ),

設(shè)平面PCB的法向量 =(a,b,c),

,令a=1,得 =(1, ),

cos< >= = ,

∵二面角B一PC﹣D為鈍角,∴二面角B一PC﹣D的余弦值為﹣


【解析】(1)取AB的中點(diǎn)O,連接PO,CO,AC,由已知條件推導(dǎo)出PO⊥AB,CO⊥AB,從而AB⊥平面PCO,由此能證明AB⊥PC.(2)由已知得OP⊥OC,以O(shè)為原點(diǎn),OC為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角B一PC﹣D的余弦值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)為,且離心率為 .
(1)求橢圓的方程;
(2)直線(與坐標(biāo)軸 不平行)與橢圓交于不同的兩點(diǎn),且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ,求直線傾斜角的取值范圍.

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【題目】某公司準(zhǔn)備將1000萬(wàn)元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中,現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)建設(shè)項(xiàng)目選擇,若投資甲項(xiàng)目一年后可獲得的利潤(rùn)(萬(wàn)元)的概率分布列如下表所示:

的期望;若投資乙項(xiàng)目一年后可獲得的利潤(rùn)(萬(wàn)元)與該項(xiàng)目建設(shè)材料的成本有關(guān),在生產(chǎn)的過(guò)程中,公司將根據(jù)成本情況決定是否在第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價(jià)格調(diào)整,兩次調(diào)整相互獨(dú)立且調(diào)整的概率分別為.若乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)(次數(shù))與的關(guān)系如下表所示:

(1)求的值;

(2)求的分布列;

(3)若,則選擇投資乙項(xiàng)目,求此時(shí)的取值范圍.

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【題目】某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如表資料:

日期

1月10日

2月10日

3月10日

4月10日

5月10日

6月10日

晝夜溫差

10

11

13

12

8

6

就診人數(shù)(個(gè))

22

25

29

26

16

12

該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個(gè)月的概率;

(2)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)3至5月份的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程

(3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2人,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的,試問(wèn)(2)中所得線性回歸方程是否理想?

參考公式:.

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【題目】已知函數(shù) ,則f(x)是(
A.周期為π,圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱的函數(shù)
B.最大值為2,圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱的函數(shù)
C.周期為2π,圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱的函數(shù)
D.最大值為2,圖象關(guān)于直線 對(duì)稱的函數(shù)

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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx的極值點(diǎn)為x=﹣ 和x=1
(1)求b,c的值與f(x)的單調(diào)區(qū)間
(2)當(dāng)x∈[﹣1,2]時(shí),不等式f(x)<m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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【題目】一只小蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體玻璃容器內(nèi)隨機(jī)飛行,若蜜蜂在飛行過(guò)程中與正方體玻璃容器6個(gè)表面中至少有一個(gè)的距離不大于1,則就有可能撞到玻璃上面不安全,若始終保持與正方體玻璃容器6個(gè)表面的距離均大于1,則飛行是安全的,假設(shè)蜜蜂在正方體玻璃容器內(nèi)飛行到每一位置可能性相同,那么蜜蜂飛行是安全的概率是

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A.甲城銷(xiāo)售額多,乙城不夠穩(wěn)定
B.甲城銷(xiāo)售額多,乙城穩(wěn)定
C.乙城銷(xiāo)售額多,甲城穩(wěn)定
D.乙城銷(xiāo)售額多,甲城不夠穩(wěn)定

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(2)若f(x)在x=﹣1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),求m的取值范圍.

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