Question

12．已知函數(shù)f（x）=mlnx+8x-x²在[1，+∞）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，-8]
• B． （-∞，-8）
• C． （-∞，-6]
• D． （-∞，-6）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到m≤2x²-8x在[1，+∞），令h（x）=2x²-8x，x∈[1，+∞），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{m}{x}$+8-2x=$\frac{-{2x}^{2}+8x+m}{x}$，
令g（x）=-2x²+8x+m，
若函數(shù)f（x）=mlnx+8x-x²在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
則-2x²+8x+m≤0在[1，+∞）成立，
則m≤2x²-8x在[1，+∞），
令h（x）=2x²-8x，x∈[1，+∞），
h′（x）=4x-8，令h′（x）＞0，解得：x＞2，
令h′（x）＜0，解得：1≤x＜2，
故h（x）在[1，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
故h（x）_min=h（2）=-8，
故m≤-8，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．