Question

已知函數f(x)=

sinx

x

，下列命題正確的是______．（寫出所有正確命題的序號）
①f（x）是奇函數
②對定義域內任意x，f（x）＜1恒成立；
③當x=

3

2

π時，f（x）取得極小值；
④f（2）＞f（3）
⑤當x＞0時，若方程|f（x）|=k有且僅有兩個不同的實數解α，β（α＞β）則β•cosα=-α•sinβ

Answer 1

①函數的定義域是{x|x≠0，x∈R}，f（-x）=

sin(-x)

-x

=

sinx

x

=f（x），∴f（x）是偶函數，故①錯誤；
②∵根據三角函數線的定義知|sinx|≤|x|，∴

|sinx|

|x|

≤1，∵x≠0，∴

sinx

x

＜1成立，故②正確；
③∵f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，∵f′（

3π

2

）=

4

9π2

≠0，∴x=

3π

2

不是極值點，∴③錯誤；
④∵

π

2

＜2＜3＜π，∴sin2＞sin3＞0，∴

sin2

2

＞

sin3

3

，∴④正確；
⑤
因為|

sinx

x

|=k（x＞0）有且僅有兩個不同的根α，β，所以，k＞0
因為x＞0時，y=sinx為周期函數，y=x為增函數
所以，f（x）在（0，π）的最大值＞f（x）在（π，2π）的最大值＞f（x）在（2π，3π）的最大值＞…
因為，α＞β
所以，α必為y=f（x）在（π，2π）取最大值時x的值，
π＜x＜2π時，f（x）=|

sinx

x

|=-

sinx

x

f'（x）=

-xcosx+sinx

x2

，令f'（x）=0，
則αcosα-sinα=0，即cosα=

sinα

α

，
所以，f（α）=-

sinα

α

=-cosα=k
α，β為方程f（x）=k在（0，π）的根
所以，

sinβ

β

=k
所以，

sinβ

β

=-cosα
即：βcosα=-sinβ，故⑤錯誤
故答案為：②④