Question

在邊長(zhǎng)為a的正三角形的三角處各剪去一個(gè)四邊形，這個(gè)四邊形是由兩個(gè)全等的直角三角形組成的，并且這三個(gè)四邊形也全等（如圖1），若用剩下的部分折成一個(gè)無蓋的正三棱柱形容器（如圖2），試求當(dāng)容器的高為多少時(shí)，可使這個(gè)容器的容積最大？并求這容器的最大容積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)容器的高為x，則容器底面正三角形的邊長(zhǎng)為a-2

3

x，V（x）=

3

4

•x•（a-2

3

x）²，0＜x＜

a

2 3

，由此能求出當(dāng)容器的高為

3

18

a時(shí)，容器的容積最大，其最大容積為

a3

54

．

解答： 解：設(shè)容器的高為x，則容器底面正三角形的邊長(zhǎng)為a-2

3

x，
∴V（x）=

3

4

•x•（a-2

3

x）²，0＜x＜

a

2 3

=

3

4

•

1

4 3

•4

3

x•(a-2

3

x)(a-2

3

x)
≤

1

16

（

4 3 x+a-2 3 x+a-2 3 x

3

）³=

a3

54

，
當(dāng)且僅當(dāng)4

3

x=a-2

3

x，即x=

3

18

a時(shí)，V_max=

a3

54

．
故當(dāng)容器的高為

3

18

a時(shí)，容器的容積最大，其最大容積為

a3

54

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的容積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．