Question

已知函數(shù)在區(qū)間[m，n]上為增函數(shù)，且f(m)f(n)=-4，
(Ⅰ)當(dāng)a=3時(shí)，求m，n的值；
(Ⅱ)當(dāng)f(n)-f(m)最小時(shí)，
①求a的值；
②若P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)（a＜x₁＜x₂＜n）是f(x)圖象上的兩點(diǎn)，且存在實(shí)數(shù)x₀，使得，證明：x₁＜x₀＜x₂。

Answer 1

解：，
(Ⅰ)當(dāng)a=3時(shí)，
由得或x=2，
所以f（x）在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
由題意，知，
且，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110726/201107261419015311409.gif" border=0>，
所以，，
可知。
(Ⅱ)①因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110726/201107261419015462116.gif" border=0>，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
由，有，得a≤0；
由，有，得a≥0；
故取得最小值時(shí)，a=0，n=1。
②此時(shí)，，
由知，，
欲證，先比較與的大小，

，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110726/201107261419017341123.gif" border=0>，所以，
有，
于是，
即，
另一方面，，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110726/201107261419018591153.gif" border=0>，
所以，
從而，即；
同理可證x₀＜x₂；
因此，x₁＜x₀＜x₂。