【題目】設(shè)函數(shù) .若曲線在點(diǎn)處的切線方程為為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若關(guān)于的不等式在(0,+)上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】1)單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是;2

【解析】試題分析1)由函數(shù)的解析式得其定義域?yàn)?/span>.. 因?yàn)榍在點(diǎn)處的切線方程為,所以,,聯(lián)立可得解方程組可得. 所以, .分別解不等式可得單調(diào)遞減與遞增區(qū)間。2)不等式恒成立即不等式恒成立,構(gòu)造函數(shù),因?yàn)?/span>,所以對(duì)任意,不等式恒成立.考慮函數(shù)的單調(diào)性。因?yàn)?/span>。當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.于是,不等式對(duì)任意恒成立,不符合題意;當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時(shí), ,即恒成立時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,構(gòu)造函數(shù), 大于函數(shù)的最大值,求導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,對(duì)任意,所以,即,符合題意;當(dāng)時(shí),構(gòu)造函數(shù),二次求導(dǎo),令 ,因?yàn)?/span>,所以。所以當(dāng)時(shí), ,此時(shí)單調(diào)遞增,所以 ,故當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.于是當(dāng)時(shí), 成立,不符合題意;綜合上面三種情況可得所求。

試題解析:解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

.

依題意得 ,即

所以.

所以 .

當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.

2)設(shè)函數(shù),故對(duì)任意,不等式恒成立.

,當(dāng),即恒成立時(shí),

函數(shù)單調(diào)遞減,設(shè),則,

所以,即,符合題意;

當(dāng)時(shí), 恒成立,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.

于是,不等式對(duì)任意恒成立,不符合題意;

當(dāng)時(shí),設(shè)

;

當(dāng)時(shí), ,此時(shí)單調(diào)遞增,

所以

故當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.

于是當(dāng)時(shí), 成立,不符合題意;

綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為: .

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2)如果有觸礁的危險(xiǎn),這艘海輪在處改變航向?yàn)闁|偏南方向航行,求的最小值.

附:

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