Question

某研究性學習小組研究函數y=lnx上的點P（x，y）與原點o的連線所在的直線的斜率k的值的變化規(guī)律．記直線OP的斜率k=f（x）．
（I）某同學甲發(fā)現：點P從左向右運動時，f（x）不斷增大，試問：他的判斷是否正確？若正確，請說明理由：若不正確，請給出你的正確判斷；
（Ⅱ）某同學乙發(fā)現：總存在正實數a、b（a＜b），使a^b=b^a．試問：他的判斷是否正確？若不正確，請說明理由：若正確，請求出a的取值范圍；
（III）某同學丙發(fā)現：當x＞1時，函數k=f（x）的圖象總在函數g(x)=

x-1

x 3 2

的圖象的下方，試問：他的判斷是否正確？若正確，請說明理由：若不正確，請給出你的正確判斷．

Answer 1

分析：（I）某同學甲的判斷不正確，理由為：f(x)=

lnx

x

，f′(x)=

1-lnx

x2

，利用f'（x）的符號，可得f（x）的單調性．
（Ⅱ）同學乙的判斷正確，理由為：x→+∞時，f(x)=

lnx

x

→0，且

lnx

x

＞0（x＞e），由圖象可得總存在正實數a、b且1＜a＜e＜b，使得f（a）=f（b），由此求得實數a的取值范圍．
（III）同學丙的判斷正確：由f(x)-

x-1

x 3 2

=

lnx

x

-

x-1

x 3 2

=

lnx- x + 1 x

x

，記g(x)=lnx-

x

+

1

x

，由g′（x）的符號可得g（x）的單調性，根據g（x）的單調性可得g（x）＜0，
f（x）-

x-1

x 3 2

＜0，即 f（x）＜

x-1

x 3 2

．

解答：解：（I）某同學甲的判斷不正確．
依題意可得，f(x)=

lnx

x

，f′(x)=

1-lnx

x2

，
當x∈（0，e）時，f'（x）＞0；當x∈（e，+∞）時，f'（x）＜0．
所以，f（x）在（0，e）上遞增，在（e，+∞）上遞減．  …（4分）
（Ⅱ）同學乙的判斷正確．
∵當x→+∞時，f(x)=

lnx

x

→0，
且

lnx

x

＞0（x＞e），又由（1）得f（x）的圖象如圖所示
所以總存在正實數a、b且1＜a＜e＜b，
使得f（a）=f（b）即

lna

a

=

lnb

b

也就是 a^b=b^a，
此時實數a的取值范圍為（1，e）．…（9分）
（III）同學丙的判斷正確：問題等價于求證：當x＞1時，f(x)＜

x-1

x 3 2

成立．
∵f(x)-

x-1

x 3 2

=

lnx

x

-

x-1

x 3 2

=

lnx- x + 1 x

x

，記g(x)=lnx-

x

+

1

x

，
g′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

-

1

2

x-

3

2

=

1

2

x-

3

2

(2

x

-x-1)=-

1

2

x-

3

2

(

x

-1)2＜0，
所以g（x）在（1，+∞）上為減函數，則 g（x）=lnx-

x

+

1

x

＜g（1）=0，
所以 f（x）-

x-1

x 3 2

＜0，即 f（x）＜

x-1

x 3 2

，
∴當x＞1時，函數k=f（x）的圖象總在函數g(x)=

x-1

x 3 2

的圖象的下方． …（14分）

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，對數函數的圖象性質的應用，屬于中檔題．