Question

（2007•湖北模擬）平面上點(diǎn)P與點(diǎn)F（0，1）的距離比它到直線y+2=0的距離小1
（1）求出點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)F作點(diǎn)P的軌跡動(dòng)弦CD，過C、D兩點(diǎn)分別作點(diǎn)P的軌跡的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的軌跡方程，并求出

FC • FD

FM2

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知條件，點(diǎn)P與點(diǎn)F距離等于它到直線y=-1的距離，故其軌跡為以F（0，1）為焦點(diǎn)的拋物線，從而可求點(diǎn)P的軌跡方程
（2）設(shè)C(x3，

1

4

x32)，D(x4，

1

4

x42)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可先求兩切線的斜率，進(jìn)而可得過拋物線上C、D兩點(diǎn)的切線方程，切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

x3+x4

2

，

x3x4

4

)設(shè)CD的直線方程為y=nx+1，代入x²=4y，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可求，M的軌跡方程；利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及方程的根與系數(shù)的關(guān)系代入可求

解答：解：（1）由已知條件，點(diǎn)P與點(diǎn)F距離等于它到直線y=-1的距離，故其軌跡為以F（0，1）為焦點(diǎn)的拋物線．
∵

P

2

=1
∴P=2故點(diǎn)P的軌跡方程為x²=4y（6分）
（2）設(shè)C(x3，

1

4

x32)，D(x4，

1

4

x42)
過拋物線上C、D兩點(diǎn)的切線方程分別是y=

1

2

x3x-

1

4

x32，y=

1

2

x4x-

1

4

x42
∴兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

x3+x4

2

，

x3x4

4

)
設(shè)CD的直線方程為y=nx+1，代入x²=4y得x²-4nx-4=0
∴x₃x₄=-4故M的坐標(biāo)為(

x3+x4

2

，-1)
故點(diǎn)M的軌跡為y=-1（10分）
∵

FC

=(x3，

1

4

x32-1)

FD

=(x4，

1

4

x42-1)
∴

FC

•

FD

=x3x4+

1

4

x32•

1

4

x42-

1

4

(x32+x42)+1
=x3x4+1-

1

4

(x32+x42)+1=-

1

4

(x32+x42)-2
而

FM

=(

x3+x4

2

-0)2+(-1-1)2
=

x32+x42+2x3x4

4

+4=

1

4

(

x

2 3

+

x

2 4

)+2
故

FA • FB

FM 2

=-1（14分）

點(diǎn)評：本題目主要考查了拋物線定義的靈活應(yīng)用求解拋物線的方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意進(jìn)行轉(zhuǎn)化，還考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線方程．