Question

18．若|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=m，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2．
（1）若|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=3，求實數(shù)m的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=3⇒$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4 和$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow$²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=9，即可求解；
（2）利用（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=以$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow$²=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|×|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|cos$\frac{2π}{3}$求解．

解答 解：（1）因為|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2，所以|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=4．
即以$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4．，…（2分）
又|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=m，所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{3-{m}^{2}}{2}$．…（3分）
由|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=3，所以所以|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|²=9．
即以$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow$²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=9，
所以1+4×$\frac{3-{m}^{2}}{2}$+4m²=9，解得m=±1，…（6分）
又|$\overrightarrow$|≥0，所以m=1．…（7分）
（2）因為，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=m，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{3-{m}^{2}}{2}$
所以|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1-2×$\frac{3-{m}^{2}}{2}$+m²=2m²-2，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{2{m}^{2}-2}$．…（9分）
又因為$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$，所以（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=以$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow$²=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|×|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|cos$\frac{2π}{3}$
即，所以1-m²=2×$\sqrt{2{m}^{2}-2}cos\frac{2π}{3}$，解得m=±$\sqrt{3}$，…（13分）
又|$\overrightarrow$|≥0，所以m=$\sqrt{3}$．…（14分）

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，掌握運算性質(zhì)是關(guān)鍵，屬于中檔題．