Question

15．已知f（x）=x²-4x，x∈[t，t+2]，f（x）的最大值為M（t）與最小值為m（t）．
（1）求M（t）與m（t）；
（2）當(dāng)t∈[-1，1]時(shí)，求T=M（t）-m（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）f（x）=x²-4x=（x-2）²-4，頂點(diǎn)是（2，-4），由于拋物線開口向上，分類討論，確定對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，即可得到結(jié)論．
（2）利用（1）的結(jié)果，求出T=M（t）-m（t）的表達(dá)式，然后求解最大值．

解答 解：（1）f（x）=x²-4x=（x-2）²-4，頂點(diǎn)是（2，-4），由于拋物線開口向上，
①當(dāng)t+2≤2，即t≤0時(shí)，最大值是M（t）=f（t）=t²-4t，
最小值是m（t）=f（t+2）=（t+2）²-4（t+2）=t²-4；
②當(dāng)t＞2時(shí)，最小值是m（t）=f（t）=t²-4t，最大值是M（t）=f（t+2）=（t+2）²-4（t+2）=t²-4；
③當(dāng)0＜t≤1時(shí)，最小值是m（t）=f（2）=-4，最大值是M（t）=f（t）=t²-4t；
1＜t≤2時(shí)，最小值是m（t）=f（2）=-4，最大值是M（t）=f（t+2）=（t+2）²-4（t+2）=t²-4．
（2）由（1）可知：t∈[-1，0]，T=M（t）-m（t）=t²-4t-（t²-4）=4-t，T的最大值為：4-（-1）=5．
t∈（0，1]時(shí)，T=M（t）-m（t）=t²-4t+4；函數(shù)的最大值為：T=0²-4×0+4=4．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．