(1)證明an<,n=3,4,5,….?
(2)猜測(cè)數(shù)列{an}是否有極限?如果有,寫(xiě)出極限的值(不必證明).?
(3)試確定一個(gè)正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),對(duì)任意b>0,都有an<.
解析:(1)證法一:∵當(dāng)n≥2時(shí),0<,?
∴,?
即.?
于是有?
, ,…,.?
由不等式兩邊相加可得?
.?
由已知不等式知,當(dāng)n≥3時(shí)有?
[log2n].?
∵a1=b,?
∴[log2n]=,an<.?
證法二:設(shè)f(n)=++…+,首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式an≤,n=3,4,5,….
①n=3時(shí),由a3≤,?
知不等式成立.?
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時(shí),不等式成立,?
即ak≤,?
則ak+1≤?
=
≤
=
=
=,?
即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.?
由①②知,an≤,n=3,4,5,….??
又由已知不等式得?
an<,n=3,4,5,….?
(2)有極限,且an=0.?
(3)∵,?
令,?
則有log2n≥[log2n]>10?
n>210 =1 024,?
故取N=1 024,可使當(dāng)n>N時(shí),都有an<.
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