【錯解分析】四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定,關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量,易忽視如下兩點:(1)在四邊形中,
,
,
,
是順次首尾相接向量,則其和向量是零向量,即a+b+с+d=0,應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用;(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積,因為數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系。
【正解】四邊形ABCD是矩形,這是因為一方面:
由a+b+с+d=0得a+b=-(с+d),即(a+b)
2=(с+d)
2即|a|
2+2a·b+|b|
2=|с|
2+2с·d+|d|
2由于a·b=с·d,
∴|a|
2+|b|
2=|с|
2+|d|
2①
同理有|a|
2+|d|
2=|с|
2+|b|
2②
由①②可得|a|=|с|,且|b|=|d|
即四邊形ABCD兩組對邊分別相等
∴四邊形ABCD是平行四邊形
另一方面,由a·b=b·с,有b(a-с)=0,而由平行四邊形ABCD可得a=-с,
代入上式得b·(2a)=0即a·b=0,∴a⊥b也即AB⊥BC。
綜上所述,四邊形ABCD是矩形。
【點評】向量具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體,能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合,形成知識交匯點,所以高考中應(yīng)引起足夠的重視;谶@一點解決向量有關(guān)問題時要樹立起數(shù)形結(jié)合,以形助數(shù)的解題思路。