Question

【題目】在四棱錐中，平面，，底面是梯形，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）設(shè)為棱上一點(diǎn)，，試確定的值使得二面角為．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）過(guò)作于，根據(jù)條件可證明平面，平面，再由面面垂直的的判定即可得證；（2）根據(jù)條件可作出二面角的平面角，從而即可建立關(guān)于的方程，或建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)平面的法向量后亦可建立關(guān)于的方程，從而求解．

試題解析：（1）∵平面，平面，平面，

∴，，在梯形中，過(guò)點(diǎn)作作于，

在中，，又在中，，

∴， ∵，，，

平面，平面，∴平面，∵平面，

∴，∵，平面，平面，∴平面，

∵平面，∴平面平面；（2）法一：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連，由（1）可知平面，∴平面，∴，

∵，∴平面，∴，∴是二面角的平面角，

∴，∵，∴，∵，∴，

∴，由（1）知，∴，又∵，∵，∴，

∴，∵，∴；法二：以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)

則，，，，令，則

，，∵，∴，

∴，∵平面，∴是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面的法向量為，則 ，即 即 ，

不妨令，得，∵二面角為，

∴，解得， ∵在棱上，∴，故為所求．