Question

4．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，如圖所示：
（1）在正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，求事件“|AM|≤1”的概率；
（2）用芝麻顆粒將正方形均勻鋪滿，經(jīng)清點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)芝麻一共56粒，有44粒落在扇形BAD內(nèi)，請(qǐng)據(jù)此估計(jì)圓周率π的近似值（精確到0.001）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件，求出滿足條件的正方形ABCD的面積，及事件“|AM|≤1”對(duì)應(yīng)平面區(qū)域的面積，代入幾何概型計(jì)算公式，即可求出答案．
（2）正方形內(nèi)的56粒芝麻顆粒中有44粒落在扇形BAD內(nèi)，頻率為$\frac{44}{56}=\frac{11}{14}$，用頻率估計(jì)概率，由（1）知$\frac{π}{4}≈\frac{11}{14}$，可得圓周率π的近似值．

解答 解：（1）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M，滿足條件的點(diǎn)M落在扇形BAD內(nèi)（圖中陰影部分），由幾何概型概率計(jì)算公式，有：$P（|MA|≤1）=\frac{{{S_{陰影部分}}}}{{{S_{正方形ABCD}}}}=\frac{π}{4}$，
故事件“|AM|≤1”發(fā)生的概率為$\frac{π}{4}$．

（2）正方形內(nèi)的56粒芝麻顆粒中有44粒落在扇形BAD內(nèi)，頻率為$\frac{44}{56}=\frac{11}{14}$，
用頻率估計(jì)概率，由（1）知$\frac{π}{4}≈\frac{11}{14}$，
∴$π≈\frac{11}{14}×4=\frac{22}{7}≈3.143$，即π的近似值為3.143．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了隨機(jī)模擬法求圓周率的問題，也考查了幾何概率的應(yīng)用問題，幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長(zhǎng)度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．