Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且${S}_{n}={2}^{n+1}-2$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求使（n-8）b_n≥nk對任意n∈N⁺恒成立的實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系即可得出；
（II）利用對數(shù)的運算性質(zhì)、等差數(shù)列的求和公式可得b_n，代入利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵${S}_{n}={2}^{n+1}-2$．∴n=1時，a₁=2．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ，n=1時也成立．
∴a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=$lo{g}_{2}（{2}^{1+2+…+n}）$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
（n-8）b_n≥nk，即（n-8）×$\frac{n（n+1）}{2}$≥nk，化為：k≤$\frac{（n-8）（n+1）}{2}$，
而f（n）=$\frac{（n-8）（n+1）}{2}$=$\frac{1}{2}（n-\frac{7}{2}）^{2}$-$\frac{77}{8}$，
當(dāng)n=3或4時，f（n）取得最小值，f（3）=-10．
∴使（n-8）b_n≥nk對任意n∈N⁺恒成立的實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-10]．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義通項公式及其求和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．