已知:函數(shù)f(x)=ax2-2x+1.
(1)若,且f(x)在[1,3]上的最大值為M(a),最小值為N(a),令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的表達(dá)式;
(2)在(1)的條件下,求證:;
(3)設(shè)a>0,證明對(duì)任意的,|f(x1)-f(x2)|≥a|x1-x2|
【答案】分析:(1)此問(wèn)是關(guān)于二次函數(shù)在定區(qū)間,變函數(shù)的最值問(wèn)題,配方后對(duì)稱軸x=∈[1,3],因此需要討論兩種情況以判斷出最大值是取f(3)還是)f(1);最小值是g(a).
(2)由(1)知g(a)是關(guān)于a的函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的最小值即可.
(3)這一問(wèn)是本題的難點(diǎn),容易證明函數(shù)f(x)在上的單調(diào)性,可得其為增函數(shù),若設(shè)x1≤x2,則有f(x1)≤f(x2),因此|f(x1)-f(x2)|≥a|x1-x2|可等價(jià)轉(zhuǎn)化為a(x1+x2)≥2,由易得其成立,即可得證明.
解答:解:(1)∵

當(dāng),即時(shí),M(a)=f(3)=9a-5,故;
當(dāng),即時(shí),M(a)=f(1)=a-1,故

(2)∵當(dāng)時(shí),<0,∴函數(shù)g(a)在上為減函數(shù);
當(dāng)時(shí),,∴函數(shù)g(a)在上為增函數(shù),
∴當(dāng)時(shí),g(a)取最小值,,故
(3)∵當(dāng)a>0時(shí),拋物線f(x)=ax2-2x+1開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為,
∴函數(shù)f(x)在上為增函數(shù),
不妨設(shè)x1≤x2,由,得f(x1)≤f(x2
|f(x1)-f(x2)|≥a|x1-x2|?f(x2)-f(x1)≥a(x2-x1)?a(x1+x2)≥2,
∴對(duì)任意的,x1+x2,
易得a(x1+x2)≥2,
即f(x2)-f(x1)≥a(x2-x1)成立,
故|f(x1)-f(x2)|≥a|x1-x2|成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查含參數(shù)的二次函數(shù)在在定區(qū)間上的最值得求法,利用導(dǎo)數(shù)工具判斷并求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間,以及利用單調(diào)性求函數(shù)的最值問(wèn)題,構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值進(jìn)一步證明不等式的恒成立問(wèn)題,考查了分類討論思想,函數(shù)與方程思想等思想方法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有意義,且在(0,+∞)上是減函數(shù),f(1)=0,又有函數(shù)g(θ)=sin2θ+mcosθ-2m,θ∈[0,
π2
],若集合M={m|g(θ)<0},集合N={m|f[g(θ)]>0}.
(1)解不等式f(x)>0;
(2)求M∩N.

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已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?1,1),當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)=
2x2x+1

(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;
(2)判斷f(x)在(0,1)上的單調(diào)性,并證明之.

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已知冪函數(shù)f(x)=xa的圖象過(guò)點(diǎn)(
1
2
,
2
2
)
,則f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞

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已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù),證明f(x)在區(qū)間(-b,-a)上仍是減函數(shù).

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已知:函數(shù)f(x)=x3-6x2+3x+t,t∈R.
(1)①證明:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2
②求函數(shù)f(x)兩個(gè)極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的圖象上兩點(diǎn)之間的距離;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=exf(x)有三個(gè)不同的極值點(diǎn),求t的取值范圍.

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