設(shè)直線與雙曲線交于A、B，且以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程．

 

【答案】

2y2－x2＝1(x2<3)．

【解析】

試題分析：將直線與雙曲線方程聯(lián)立，消去y（或x），得到關(guān)于x的一元二次方程。由題意知方程有兩根，故二次項(xiàng)系數(shù)不為0，且判別式大于0，解出a的范圍，即所求軌跡方程的定義域。根據(jù)韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積（整體計(jì)算比計(jì)算出兩個(gè)根要簡(jiǎn)單）。根據(jù)且以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，可得直線AO和直線BO垂直，可利用斜率之積等于列式計(jì)算，但這種情況需對(duì)斜率存在與否進(jìn)行討論。為了省去討論的麻煩可用向量問(wèn)題來(lái)解決。詳見解析。

試題解析：解：聯(lián)立直線與雙曲線方程得，消去y得：(a2－3)x2＋2abx＋b2＋1＝0.

∵直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，∴⇒a2<3.

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1＋x2＝，x1·x2＝.

由⊥得x1x2＋y1y2＝0，又y1·y2＝(ax1＋b)(ax2＋b)＝a2x1x2＋ab(x1＋x2)＋b2，

∴有＋a2·－＋b2＝0.

化簡(jiǎn)得：a2－2b2＝－1.故P點(diǎn)(a，b)的軌跡方程為2y2－x2＝1(x2<3)．

考點(diǎn)：直接法求軌跡方程

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若F1F2為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的左右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P在雙曲線左支上，M在右準(zhǔn)線上，且滿足
F1O
=
PM
，
OP
•
OM
|
OP
||
OM
|
=
OF1
•
OP
|
OF1
||
OP
|

（1）求此雙曲線的離心率；
（2）若此雙曲線過(guò)點(diǎn)N（2，
3
），求雙曲線方程；
（3）設(shè)（2）中雙曲線的虛軸端點(diǎn)為B1，B2（B1在y軸正半軸上），求B2作直線AB與雙曲線交于A B兩點(diǎn)，求
B1A
⊥
B1B
時(shí)，直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出4個(gè)命題：
（1）設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為2a（a＞0），橢圓上的一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離是
2
3
a，P到一條準(zhǔn)線的距離是
8
3
a，則此橢圓的離心率為
1
4
．
（2）若橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a≠b，且a，b為正的常數(shù)）的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為d1，d2，則|d12-d22|為定值．
（3）如果平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M到定直線l的距離與M到定點(diǎn)F的距離之比大于1，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線．
（4）過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A1、B1，則FA1⊥FB1．
其中正確命題的序號(hào)依次是
（2）（4）
（2）（4）
．（把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2015屆遼寧沈陽(yáng)二中高二12月月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)直線與雙曲線交于A、B，且以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)雙曲線的漸近線方程為,若直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為，求雙曲線的方程。

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