Question

已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）當(dāng)λ為何值時(shí)，平面BEF⊥平面ACD？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AB⊥平面BCD?AB⊥CD，又CD⊥BC?CD⊥平面ABC，再利用條件可得不論λ為何值，恒有EF∥CD?EF?平面BEF，就可得不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD?BE⊥平面ACD?BE⊥AC．故只須讓所求λ的值能證明BE⊥AC即可．在△ABC中求出λ的值．

解答：證明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．（3分）
又∵

AE

AC

=

AF

AD

=λ(0＜λ＜1)，
∴不論λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF?平面BEF，
∴不論λ為何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又∵平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC．（9分）
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴BD=

2

，AB=

2

tan60°=

6

，（11分）
∴AC=

AB2+BC2

=

7

，
由AB²=AE•AC得AE=

6

7

，∴λ=

AE

AC

=

6

7

，（13分）
故當(dāng)λ=

6

7

時(shí)，平面BEF⊥平面ACD．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了面面垂直的判定．在證明面面垂直時(shí)，其常用方法是在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直．