【題目】已知，函數(shù).

（1）若，證明：當(dāng)時，；

（2）若是的極小值點(diǎn)，求的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值為，從而可證明出所證不等式成立；

（2）分、和三種情況討論，分析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在附近符號的變化，結(jié)合條件“是的極小值點(diǎn)”，可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）若，.

設(shè)函數(shù)，則.

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以在上，.

又因?yàn)楫?dāng)時，，所以當(dāng)時，；

（2）（i）若，由（1）可知當(dāng)時，，這與是的極小值點(diǎn)矛盾.

（ii）若，對于方程，因?yàn)?/span>，且，

故方程有兩個實(shí)根、，且滿足.

當(dāng)時，，

結(jié)合（1），可得.

這與是的極小值點(diǎn)矛盾.

（iii）若，設(shè)函數(shù).

由于當(dāng)時，，故與符號相同.

又，所以是的極小值點(diǎn)等價于是的極小值點(diǎn).

.

由得，或.

如果，則當(dāng)時，，當(dāng)且時，，所以不是的極小值點(diǎn).

如果，則當(dāng)時，，所以不是的極小值點(diǎn).

如果，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以是的極小值點(diǎn)，從而是的極小值點(diǎn)，此時.

綜上所述，的取值范圍是.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2016年某市政府出臺了“2020年創(chuàng)建全國文明城市（簡稱創(chuàng)文）”的具體規(guī)劃，今日，作為“創(chuàng)文”項(xiàng)目之一的“市區(qū)公交站點(diǎn)的重新布局及建設(shè)”基本完成，市有關(guān)部門準(zhǔn)備對項(xiàng)目進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果決定是否驗(yàn)收，調(diào)查人員分別在市區(qū)的各公交站點(diǎn)隨機(jī)抽取若干市民對該項(xiàng)目進(jìn)行評分，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，相關(guān)規(guī)則為：①調(diào)查對象為本市市民，被調(diào)查者各自獨(dú)立評分；②采用百分制評分， 內(nèi)認(rèn)定為滿意，80分及以上認(rèn)定為非常滿意；③市民對公交站點(diǎn)布局的滿意率不低于60%即可進(jìn)行驗(yàn)收；④用樣本的頻率代替概率.

（1）求被調(diào)查者滿意或非常滿意該項(xiàng)目的頻率；

（2）若從該市的全體市民中隨機(jī)抽取3人，試估計(jì)恰有2人非常滿意該項(xiàng)目的概率；

（3）已知在評分低于60分的被調(diào)查者中，老年人占，現(xiàn)從評分低于60分的被調(diào)查者中按年齡分層抽取9人以便了解不滿意的原因，并從中選取2人擔(dān)任群眾督察員，記為群眾督查員中老年人的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知平面內(nèi)一個動點(diǎn)M到定點(diǎn)F(3，0)的距離和它到定直線l：x=6的距離之比是常數(shù)．

(1)求動點(diǎn)M的軌跡T的方程；

(2)若直線l：x+y-3=0與軌跡T交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的垂直平分線與T交于C，D兩點(diǎn)，試問A，B，C，D是否在同一個圓上?若是，求出該圓的方程；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】點(diǎn)是曲線：上的一個動點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，①；②的面積為定值；③曲線上存在兩點(diǎn)，使得是等邊三角形；④曲線上存在兩點(diǎn)，使得是等腰直角三角形，其中真命題的個數(shù)是（ ）

A.1B.2C.3D.4

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【題目】已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在斜率為的直線與橢圓相交于,兩點(diǎn)，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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【題目】中國古代數(shù)學(xué)成就甚大，在世界科技史上占有重要的地位.“算經(jīng)十書”是漢、唐千余年間陸續(xù)出現(xiàn)的10部數(shù)學(xué)著作，包括《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、……、《綴術(shù)》等，它們曾經(jīng)是隋唐時期國子監(jiān)算學(xué)科的教科書.某中學(xué)圖書館全部收藏了這10部著作，其中4部是古漢語本，6部是現(xiàn)代譯本，若某學(xué)生要從中選擇2部作為課外讀物，至少有一部是現(xiàn)代譯本的概率是（ ）

A.B.C.D.

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【題目】已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是，，再接下來的三項(xiàng)是，，，依此類推，若該數(shù)列前項(xiàng)和滿足：①②是2的整數(shù)次冪，則滿足條件的最小的為

A. 21B. 91C. 95D. 10

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）證明：，都有；

（2）若函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，求的極值.

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【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，設(shè)，是橢圓的兩個短軸端點(diǎn)，是橢圓的長軸左端點(diǎn)．

（1）當(dāng)時，設(shè)點(diǎn)，，直線交橢圓于，且直線、的斜率分別為，，求的值；

（2）當(dāng)時，若經(jīng)過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求與的面積之差的最大值．

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