Question

已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；
（2）若，求a的取值范圍.

Answer 1

（1）0；（2）(－∞，0).

解析試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，對(duì)求導(dǎo)，利用“單調(diào)遞增，單調(diào)遞減”判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)最值的位置，并求出函數(shù)的最小值；第二問(wèn)，先將已知不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將所求的參數(shù)分離出來(lái)，構(gòu)造新的函數(shù)，利用“單調(diào)遞增，單調(diào)遞減”判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)最值的位置，并求出函數(shù)的最值，代入到所轉(zhuǎn)化的式子中即可.
試題解析：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x²－lnx－x，．
當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f¢(x)＜0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f¢(x)＞0．
所以f(x)的最小值為f(1)＝0．          5分
（2）f(x)＞x，即f(x)－x＝x²－lnx－(a＋1)x＞0．
由于x＞0，所以f(x)＞x等價(jià)于．      7分
令，則．
當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g¢(x)＜0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g¢(x)＞0．
g(x)有最小值g(1)＝1．
故a＋1＜1，a的取值范圍是(－∞，0)．       12分
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問(wèn)題.