Question

10．已知在極坐標(biāo)系中，曲線Ω的方程為ρ=6cosθ．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=4+tcosθ\\ y=-1+tsinθ\end{array}\right.$（t為參數(shù)，θ∈R）．
（Ⅰ）求曲線Ω的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l交曲線Ω于A、C兩點(diǎn)，過點(diǎn)（4，-1）且與直線l垂直的直線l₀交曲線Ω于B、D兩點(diǎn)．求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程即 ρ²=6ρcosθ，根據(jù) x=ρcosθ，y=ρsinθ，把它化為直角坐標(biāo)方程；消去參數(shù)，可得直線l的普通方程；
（Ⅱ）先確定AC²+BD²為定值，表示出面積，即可求四邊形ABCD的面積的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ，即 ρ²=6ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程為 x²+y²=6x；
直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=4+tcosθ\\ y=-1+tsinθ\end{array}\right.$（t為參數(shù)，θ∈R），直線l的普通方程y+1=tanθ（x-4）；
（Ⅱ）設(shè)弦AC，BD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則OE²+OF²=2，
∴AC²+BD²=4（18-OE²-OF²）=64，
∴S²=$\frac{1}{4}$AC²•BD²=$\frac{1}{4}$AC²•（64-AC²）≤256，
∴S≤16，當(dāng)且僅當(dāng)AC²=64-AC²，即AC=4$\sqrt{2}$時，取等號，
故四邊形ABCD面積S的最大值為16．

點(diǎn)評 本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，參數(shù)方程化為普通方程的方法，考查直線過定點(diǎn)，考查面積的計(jì)算，基本不等式的應(yīng)用，正確運(yùn)用代入法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．