Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若在處取得極值，求實數(shù)的值；

（2）對任意實數(shù)，都有，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，證明：存在唯一，使得，且.

Answer 1

【答案】（1）1;（2）;（3）證明見解析.

【解析】

（1）先求導數(shù)，利用極值點處的導數(shù)值為零可求實數(shù)的值，注意進行驗證；

（2）分離參數(shù)，，只需要求解的最大值即可；

（3）先利用函數(shù)單調(diào)性及邊界值的符號證明存在性和唯一性，再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合單調(diào)性證明.

（1），因為在處取得極值，所以，

解得；此時，當時，，為增函數(shù)；

當時，，為減函數(shù)；所以在處取得極小值.

故.

（2）因為對任意實數(shù)，都有，所以；

令，則，

當時，，為增函數(shù)；當時，，為減函數(shù)；

所以有最大值，所以，即實數(shù)的取值范圍是.

（3）①先證明存在性和唯一性；

由得，

當時，；當時，；

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

，，

令，則，

所以存在唯一的使得.

由（2）知，在遞減，在上遞增，

因為，時，，所以存在唯一的使得.

②欲證，只需證明；

因為，且，即證，

，即證，

由于在單調(diào)遞減，且時，，所以，

所以.