Question

12．設(shè){a_n}是等比數(shù)列，公比q=$\sqrt{2}$，S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和．記T_n=$\frac{17{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$，n∈N^*，設(shè)T_m為數(shù)列{T_n}的最大項(xiàng)，則m=（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 首先用公比q和a₁分別表示出S_n和S_2n，代入T_n易得到T_n的表達(dá)式，再根據(jù)基本不等式得出m．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，則a_n=a₁（$\sqrt{2}$）^n-1，S_n=$\frac{{a}_{1}[1-（\sqrt{2}）^{n}]}{1-\sqrt{2}}$，
∴T_n=$\frac{17{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{17•\frac{{a}_{1}[1-（\sqrt{2}）^{n}]}{1-\sqrt{2}}-\frac{{a}_{1}[1-（\sqrt{2}）^{2n}]}{1-\sqrt{2}}}{{a}_{1}•（\sqrt{2}）^{n}}$=$\frac{1}{1-\sqrt{2}}$•[（$\sqrt{2}$）ⁿ+$\frac{16}{（\sqrt{2}）^{n}}$-17]，
∵（$\sqrt{2}$）ⁿ+$\frac{16}{（\sqrt{2}）^{n}}$≥8，當(dāng)且僅當(dāng)（$\sqrt{2}$）ⁿ=$\frac{16}{（\sqrt{2}）^{n}}$即n=4時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)m=4時(shí)，T_n有最大值．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)及平均值不等式的應(yīng)用，屬于中等題．