Question

在O為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，-3）為△OAB的直角頂點(diǎn)．已知|

AB

|=2|

OA

|且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于零．
（1）求圓x²-6x+y²+2y=0關(guān)于直線OB對(duì)稱的圓的方程；
（2）設(shè)直線l平行于直線AB且過(guò)點(diǎn)（0，a），問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，使得橢圓

x2

16

+y2=1上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用條件求點(diǎn)B的坐標(biāo)以及直線OB的方程，再利用關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程的求法即可求出圓x²-6x+y²+2y=0關(guān)于直線OB對(duì)稱的圓的方程；
（2）先求出直線l的方程以及關(guān)于直線l對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)和直線l的方程之間的關(guān)系，再利用判別式的范圍來(lái)求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)B為（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)A（4，-3）為△OAB的直角頂點(diǎn)和|

AB

|=2|

OA

|．
所以O(shè)A⊥AB且|OB|=

5

|OA|?

4(x-4)-3(y+3)=0 x2+y2=125

?

x=10 y=5

（因點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于零另一組舍去）
所以直線OB的方程為y=

1

2

x．
又圓x²-6x+y²+2y=0?（x-3）²+（y+1）²=10．
圓心（3，-1）關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)為（1，3）．
所以圓x²-6x+y²+2y=0關(guān)于直線OB對(duì)稱的圓的方程為（x-1）²+（y-3）²=10．
（2）因?yàn)閗_AB=

4

3

，所以直線l的方程為y=

4

3

x+a．
則橢圓

x2

16

+y2=1上關(guān)于直線l對(duì)稱的兩個(gè)不同的點(diǎn)M（m，n），N（b，c）在直線y=-

3

4

x+d上，
由

y=- 3 4 x+d x2 16 +y2=1

?

5

8

x2-

3

2

xd+d²-1=0．△=(-

3

2

d)2-4×

5

8

×(d2-1)＞0?d²＜10①．
且m+b=

12

5

d，所以c+n=-

3

4

（m+b）+2d=

1

5

d，
所以M，N的中點(diǎn)為（

6

5

d，

1

10

d）在y=

4

3

x+a上．
解得d=-

2

3

a代入①?-

3

2

10

＜a＜

3

2

10

．
故存在滿足題意的實(shí)數(shù)a，其取值范圍為a∈(-

3

2

10

，

3

2

10

)．

點(diǎn)評(píng)：在圓錐曲線的綜合大題中，主要考查解析幾何的有關(guān)知識(shí)，以及分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力．值得引起重視的一個(gè)現(xiàn)象是，經(jīng)常出現(xiàn)一條或幾條直線與兩種圓錐曲線（包括圓）的位置關(guān)系問(wèn)題，同時(shí)要注意其與平面幾何、平面向量以及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)的綜合命題．