Question

如圖，矩形的長AD=2

3

，寬AB=1，A，D兩點分別在x，y軸的正半軸上移動，B，C兩點在第一象限．問：當∠OAD=

 

時，OB的長度最大．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：三角函數的圖像與性質

分析：設∠OAD=θ.θ∈(0，

π

2

)．利用兩點間的距離公式、兩角和差的正弦公式及其正弦函數單調性有界性即可得出．

解答： 解：設∠OAD=θ.θ∈(0，

π

2

)．
則A(2

3

cosθ，0)，
∴B(2

3

cosθ+sinθ，cosθ)．
∴|OB|²=(2

3

cosθ+sinθ)2+cos2θ
=1+4

3

sinθcosθ+12cos2θ
=4

3

sin(2θ+

π

3

)+7
當且僅當2θ+

π

3

=

π

2

，即θ=

π

12

時，sin(2θ+

π

3

)取得最大值，即|OB取得最大值．
故答案為：

π

12

．

點評：本題考查了兩點間的距離公式、兩角和差的正弦公式及其正弦函數單調性有界性，屬于中檔題．