【題目】如圖，已知平行四邊形和矩形所在平面垂直，其中為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).

（1）求證:；

（2）若點(diǎn)到平面的距離是，求多面體的體積.

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）首先連接，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到.根據(jù)可得到，再根據(jù)線面垂直的判定即可證明平面，即證.

（2）首先取中點(diǎn)，連接，根據(jù)平面得到點(diǎn)到平面的距離就是，取中點(diǎn)，連接，利用面面垂直的性質(zhì)即可證明為三棱柱的高，再求其體積即可.

（1）連接，因?yàn)?/span>為正三角形，為棱的中點(diǎn)，

所以，因?yàn)?/span>，從而，

又平面平面，平面，

所以平面.

又平面，

所以.①

設(shè)，所以，

又，所以，

所以.

又，所以.

則，②

由①②及，可得平面.

所以.

（2）取中點(diǎn)，連接，則，

則平面，

因?yàn)?/span>平面，

故點(diǎn)到平面的距離就是點(diǎn)到平面的距離.

故，因，得，則，

取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>為正三角形，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，

平面，.

所以平面，

所以為三棱柱的高，

由已知可得，，

所以三棱柱的體積.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為發(fā)揮體育咋核心素養(yǎng)時(shí)代的獨(dú)特育人價(jià)值，越來越多的中學(xué)生已將某些體育項(xiàng)目納入到學(xué)生的必修課程，某中學(xué)計(jì)劃在高一年級(jí)開設(shè)游泳課程，為了解學(xué)生對(duì)游泳的興趣，某數(shù)學(xué)研究學(xué)習(xí)小組隨機(jī)從該校高一年級(jí)學(xué)生抽取了100人進(jìn)行調(diào)查.

班 級(jí)

一（1）

一（2）

一（3）

一（4）

一（5）

一（6）

一（7）

一（8）

一（9）

一（10）

市級(jí)比賽

獲獎(jiǎng)人數(shù)

2

2

3

3

4

4

3

3

4

2

市級(jí)以上比

賽獲獎(jiǎng)人數(shù)

2

2

1

0

2

3

3

2

1

2

（1）已知在被抽取的女生中有6名高一（1）班學(xué)生，其中3名對(duì)游泳有興趣，現(xiàn)在從這6名學(xué)生中最忌抽取3人，求至少有2人對(duì)游泳有興趣的概率；

（2）該研究性學(xué)習(xí)小組在調(diào)查發(fā)現(xiàn)，對(duì)游泳有興趣的學(xué)生中有部分曾在市級(jí)以上游泳比賽中獲獎(jiǎng)，如上表所示，若從高一（8）班和高一（9）班獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)各抽取2人進(jìn)行跟蹤調(diào)查.記選中的4人中市級(jí)以上游泳比賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，某市建有貫穿東西和南北的兩條垂直公路，，在它們交叉路口點(diǎn)處的東北方向建有一個(gè)荷花池，荷花池的外圍是一條環(huán)形公路，荷花池中的固定觀景臺(tái)位于兩條垂直公路的角平分線上，與環(huán)形公路的交點(diǎn)記作．游客游覽荷花池時(shí)，需沿公路先到達(dá)環(huán)形公路處.為了分流游客，方便游客游覽荷花池，計(jì)劃從靠近公路，的環(huán)形公路上選，兩處（，關(guān)于直線對(duì)稱）修建直達(dá)觀景臺(tái)的玻璃棧道，．以，所在的直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，靠近公路，的環(huán)形公路可用曲線近似表示，曲線符合函數(shù)．

（1）若百米，點(diǎn)到的垂直距離為1百米，求玻璃棧道的總長度；

（2）若要使得玻璃棧道的總長度最小為百米，求觀景臺(tái)的位置．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，其焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)與交于、兩點(diǎn)，當(dāng)的斜率為時(shí)，.

（1）求的值；

（2）在軸上是否存在一點(diǎn)滿足（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】血藥濃度（Serum Drug Concentration）是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度（單位：mg/ml），通常用血藥濃度來研究藥物的作用強(qiáng)度．下圖為服用同等劑量的三種新藥后血藥濃度的變化情況，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示服用第種藥后血藥濃度達(dá)到峰值時(shí)所用的時(shí)間，其它點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別表示服用三種新藥后血藥濃度第二次達(dá)到峰值一半時(shí)所用的時(shí)間(單位：h)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示第種藥的血藥濃度的峰值．（）

①記為服用第種藥后達(dá)到血藥濃度峰值時(shí)，血藥濃度提高的平均速度，則中最大的是_______；

②記為服用第種藥后血藥濃度從峰值降到峰值的一半所用的時(shí)間，則中最大的是_______

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是其一個(gè)焦點(diǎn)，又點(diǎn)在橢圓上．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過的動(dòng)直線交橢圓于點(diǎn)，交軌跡于兩點(diǎn)，設(shè)為的面積，為的面積，令的面積，令，試求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，（其中常數(shù)）.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知兩點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng)，且，若動(dòng)點(diǎn)滿足.

（1）求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，與圓相交于兩點(diǎn)（兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），求直線的斜率之積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．

（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；

（2）若x∈[0，π]時(shí)，f（x）≥ax，求a的取值范圍．

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