Question

1．如圖，在正四棱錐P-ABCD中，點M為側(cè)棱PA的中點．
（Ⅰ）求證：PC∥平面BDM；
（Ⅱ）若PA⊥PC，求證：PA⊥平面BDM．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC，設(shè)AC∩BD=O，連接MO，推導(dǎo)出MO∥PC，由此能證明PC∥平面BDM．
（Ⅱ）連接PO，推導(dǎo)出PO⊥BD，BD⊥AC，從而BD⊥平面PAC，進而BD⊥PA，再推導(dǎo)出MO⊥PA，由此能證明PA⊥平面BDM．

解答 證明：（Ⅰ）如圖，在正四棱錐P-ABCD中，
連接AC，設(shè)AC∩BD=O，連接MO．（1分）
因為ABCD為正方形，則O為AC中點．
又因為M為側(cè)棱PA的中點，所以MO∥PC．（3分）
又因為PC?面BDM，MO?面BDM，
所以PC∥平面BDM．（5分）
（Ⅱ）連接PO，在正四棱錐P-ABCD中，
PO⊥平面ABCD，（6分）
BD?平面ABCD，所以PO⊥BD．（7分）
又因為BD⊥AC，（8分）
AC∩PO=O，且AC?平面PAC，PO?平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，（9分）
又因為PA?平面PAC，所以BD⊥PA．（10分）
由（Ⅰ）得MO∥PC，又因為PA⊥PC，則MO⊥PA．（11分）
又MO∩BD=O，且MO?平面BDM，BD?平面BDM，
所以PA⊥平面BDM．（12分）

點評 本題考查線面平行與線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．