Question

已知常數(shù)a＞0，向量c＝(0，a)，i＝(1，0)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O以c＋λi為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0，a)，以i－2λc為方向向量的直線相交于點(diǎn)P．其中λ∈R．試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得|PF|＋|PF|為定值．若存在，求出E，F(xiàn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值． 　　∵i＝(1，0)，c＝(0，a)， 　　∴c＋λi＝(λ，a)，i－2λc＝(1，－2λa)． 　　因此，直線OP和AP的方程分別為λy＝ax和y－a＝－2λax． 　　消去參數(shù)λ，得點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足方程y(y－a)＝－2a2x2， 　　整理得＋＝1　�、� 　　因?yàn)?/FONT>a＞0，所以得： 　　(i)當(dāng)a＝時(shí)，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F； 　　(ii)當(dāng)0＜a＜時(shí)，方程①表示橢圓，焦點(diǎn)E(，)和F(－，)為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)； 　　(iii)當(dāng)a＞時(shí)，方程①也表示橢圓，焦點(diǎn)E(0，(a＋))和F(0，(a－)為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)．