已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1+2n（n≥2），且a1=2．
（Ⅰ）設bn=
an2n
，求證數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n項和Sn．
分析：（I）在等式兩邊同除以2n，利用等差數(shù)列的定義即可證得結論；
（II）由于通項是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積構成的新數(shù)列，利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和．
解答：解：（I）∵an=2an-1+2n(n≥2)
∴
an
2n
=
an-1
2n-1
+1
即
an
2n
-
an-1
2n-1
=1
∵bn=
an
2n

∴bn-bn-1=1
∴數(shù)列{bn}是公差為1，首項為1的等差數(shù)列；
（II）bn=
an
2n
=1+(n-1)×1=n，∴an=n×2n
∴Sn=1•21+2•22+3•23+…+n×2n
∴2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1
兩式相減得：-Sn=21+22+23+…+2•n-n×2n+1，
∴Sn=（n-1）•2n+1+2
點評：本題主要考查數(shù)列遞推關系式的應用以及等差關系的確定，考查錯位相減法求數(shù)列的和，確定數(shù)列的通項是關鍵，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項公式
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1
．

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