Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn ， a1=1，且 an+1=2Sn+1，n∈N ．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令 c=log3a2n ， bn= ，記數(shù)列{bn}的前 n 項(xiàng)和為Tn ， 若對任意 n∈N ， λ＜Tn 恒成立，求實(shí)數(shù) λ 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）∵an+1=2Sn+1，n∈N ， n≥2時(shí)，an=2Sn﹣1+1，可得an+1﹣an=2an ， 即an+1=3an ． n=1時(shí)，a2=2a1+1=3=3a1 ， 滿足上式．
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∴an=3n﹣1 ．
（II） c=log3a2n= =2n﹣1．
bn= = = ，
數(shù)列{bn}的前 n 項(xiàng)和Tn=
=
∵對任意 n∈N ， λ＜Tn 恒成立，
∴λ＜ = ．
∴實(shí)數(shù) λ 的取值是
【解析】（I）an+1=2Sn+1，n∈N ， n≥2時(shí)，an=2Sn﹣1+1，可得an+1﹣an=2an ， 即an+1=3an ． n=1時(shí)，a2=2a1+1=3，滿足上式．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（II） c=log3a2n= =2n﹣1．bn= = = ，利用“裂項(xiàng)求和”及其數(shù)列的單調(diào)性即可得出．
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．