Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為6．其離心率為

7

4

．若l₁，l₂是橢圓C的兩條相互垂直的切線，l₁，l₂的交點為點P．
（1）求橢圓C的方程； 
（2）求點P的軌跡方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得2b=6，

7

16

=e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

．由此能求出橢圓C的方程．
（2）若直線l₁的斜率存在且不為零時，設為k，設P（x₀，y₀），則直線l₁的方程為y=kx+y₀-kx₀，令m=y₀-kx₀.

y=kx+m x2 16 + y2 9 =1

⇒(16k2+9)x2+32kmx+16m2-144=0．由此利用根的判別式、點到直線的距離公式、韋達定理能求出|OP|²=25．直線l₁的斜率不存在或為零時也成立，由此能求出點P的軌跡是圓x²+y²=25．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為6．其離心率為

7

4

．
∴2b=6，解得b=3，又e=

7

4

，
從而

7

16

=e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

．
解得a²=16，b²=9．
∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

9

=1．…（6分）
（2）①若直線l₁的斜率存在且不為零時，設為k，
設P（x₀，y₀），則直線l₁的方程為y-y₀=k（x-x₀）．
即y=kx+y₀-kx₀，令m=y₀-kx₀．

y=kx+m x2 16 + y2 9 =1

⇒(16k2+9)x2+32kmx+16m2-144=0．
直線l₁是橢圓的切線，
∴△=（32km）²-4（16k²+9）（16m²-144）=0，∴m²=16k²+9，
坐標原點O到直線l₁的距離d1=

|m|

1+k2

，
∴

d

2 1

=

m2

1+k2

=

16k2+9

1+k2

．
設坐標原點O到直線l₂的距離為d₂，
同理可得

d

2 2

=

16(- 1 k )2+9

1+(- 1 k )2

=

9k2+16

1+k2

．
所以|OP|2=

d

2 1

+

d

2 2

=

16k2+9

1+k2

+

9k2+16

1+k2

=25．
②若直線l₁的斜率不存在或為零時，由題意得|OP|2=

d

2 1

+

d

2 2

=25．
綜上，|OP|²=25．
∴點P的軌跡是圓x²+y²=25．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查點的軌跡方程的求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、點到直線的距離公式、韋達定理的合理運用．