Question

如圖所示，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：平面AA₁C₁C平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）見(jiàn)解析  （Ⅱ）二面角的余弦值為．   

本試題主要是考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解的綜合運(yùn)用。
（1）根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)，可以建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量垂直得到面面垂直的證明。
（2）運(yùn)用平面的法向量和數(shù)量積的性質(zhì)，可以得到兩個(gè)半平面的法向量的向量的夾角，因此得到求解。
解：解法一：（Ⅰ）∵，∴．
∵三棱柱為直三棱柱，∴
∵，∴平面 
∵平面，∴，而，則．……4分
在中，，
在中，，
∴．同理可得，．
（或：在與中，∵，
∴～，∴，．）
∵，∴．即．
∵，∴平面．           ……6分
（Ⅱ）如圖，過(guò)作的垂線，垂足為，在平面內(nèi)作交于點(diǎn)，連，則為二面角的平面角．   ……8分
在中，，．∵～，∴，則，．在中，求得．
在中，由余弦定理，得．
故二面角的余弦值為．        ……12分

解法二：∵，∴．
∵三棱柱為直三棱柱，∴
∵，∴平面．    ……2分
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．          ……4分
（Ⅰ），，，
∵，，
∴，，即，．
∵，∴平面． ……6分

（Ⅱ）設(shè)是平面的法向量，由得
取，則是平面的一個(gè)法向量．     ……8分
又是平面的一個(gè)法向量，       ……10分
且與二面角的大小相等．
由．
故二面角的余弦值為．