Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x∈R），a為正實(shí)數(shù).

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對，不等式恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為[0，3]；（2）

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，分別令f′（x）＞0， f′（x）＜0，即可解得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

（2）不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜1恒成立，轉(zhuǎn)化為在上，即求在上的最大值與最小值，結(jié)合（1）的單調(diào)性，即可求解。

（1）因?yàn)閒（x）=，所以=.

令＞0，得0＜x＜3，令＜0，得x＜0，或x＞3.

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[0，3]（注意：寫成開區(qū)間（0，3）也行），單調(diào)減區(qū)間為

（－∞，0）和（3，+∞）

（2）由（1）知f（x）在[0，3]上為增函數(shù)，在[3，4]上為減函數(shù)，

所以f（x）在[0，4]上的最大值是f（3）=.

又因?yàn)閒（0）=－a＜0，f（4）=11a＞0,所以f（0）＜f（4），

所以f（x）在[0，4]上的最小值為f（0）=－a. 所以，若對，不等式＜1恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)，即＜1. 即+a＜1，解得：a＜. 又因?yàn)閍＞0，所以0＜a＜.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.