已知f(x)=
1+x2
，a≠b，求證：|f（a）-f（b）|＜|a-b|．
分析：不等式的左邊化簡為
|a-b||a+b|
1+a2
+
1+b2
，利用|a+b|≤|a|+|b|和
1+a2
 +
1+b2
≥
a2
+
b2
，
即可證得不等式成立．
解答：解：∵|f（a）-f（b）|=|
1+a2
-
1+b2
|=
|a2-b2|
1+a2
+
1+b2
=
|a-b||a+b|
1+a2
+
1+b2
≤
|a-b|(|a|+|b|)
1+a2
+
1+b2
　　　　　　　　　　　　　
＜
|a-b|(|a|+|b|)
a2
+
b2
=|a-b|．
∴：|f（a）-f（b）|＜|a-b|成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用放縮法證明不等式，絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，將不等式進(jìn)行放縮是解題的難點(diǎn)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是可導(dǎo)的函數(shù)，且f′（x）＜f（x）對(duì)于x∈R恒成立，則（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知f(
x
+1)=x+2，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1，求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=
1-x
+
x-1
，則它是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知f(
x
-1)=x+
x
，求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）已知f（x）+2f（-x）=x2+2x，求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，且對(duì)任意正數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0．
（1）證明f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）若f（3）=1，集合A={x|f（x）＞f（x-1）+2}，B={x|f(
(a+1)x-1x+1
)＞0，a∈R}，A∩B=∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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