Question

【題目】已知雙曲線（，）的一條漸近線方程為，點(diǎn)在雙曲線上；拋物線（）的焦點(diǎn)F與雙曲線的右焦點(diǎn)重合.

（1）求雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過焦點(diǎn)F作一條直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率為時(shí)，求線段的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由漸近線方程得，再由點(diǎn)在雙曲線上，代入后得的一個(gè)方程，聯(lián)立后可解得，得雙曲線方程，求出雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，即為拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由直線方程與拋物線方程聯(lián)立可解得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)．

解：（1）因?yàn)殡p曲線（，）的漸近線方程為，

所以①，又點(diǎn)在雙曲線上，所以②

由①②解得，，

故雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為；

設(shè)雙曲線的焦距為，因?yàn)?/span>，得，所以拋物線焦點(diǎn)為，

即，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)直線交拋物線于，，

聯(lián)立得即，

故.

由拋物線定義知，，

所以