Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{{{a^2}-1}}（{a^x}-\frac{1}{a^x}）$（a＞0且a≠1）
（1）①若a=$\sqrt{2}$，判斷函數(shù)的單調(diào)性（可不證明）；②判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
（2）問：在y=f（x）的圖象上是否存在兩個不同點A、B，使直線AB與x軸平行？若存在，證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）①若a=$\sqrt{2}$，寫出函數(shù)解析式，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；②利用奇函數(shù)的定義，判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）為定義域上的單調(diào)函數(shù)即可說明不存在兩個不同的點，使過兩點的直線與x軸平行．

解答 解：（1）①若a=$\sqrt{2}$，f（x）=$\sqrt{2}[（\sqrt{2}）^{x}-\frac{1}{（\sqrt{2}）^{x}}]$單調(diào)遞增；
②函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，證明如下
f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}（\frac{1}{{a}^{x}}-{a}^{x}）$=-f（x），函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）不存在，理由如下：
設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{a（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）（{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+1）}{（{a}^{2}-1）{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，
∵${a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+1＞0，${a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+＞0，而不論a＞1 還是0＜a＜1，${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}$與a²-1同號
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函數(shù)．
故在函數(shù)y=f（x）的圖象上不存在兩個不同的點，使過兩點的直線與x軸平行．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)單調(diào)性的定義及其證明，代數(shù)變換推理證明能力．