某港口的水深y(m)是時(shí)間t (0≤t≤24,單位:h)的函數(shù),下表是該港口某一天從0:00時(shí)至24:00時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系:
t(h)0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00
y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0
經(jīng)長(zhǎng)時(shí)間的觀察,水深y與t的關(guān)系可以用y=Asin(ωx+ϕ)+h擬合.根據(jù)當(dāng)天的數(shù)據(jù),完成下面的問(wèn)題:
(1)求出當(dāng)天的擬合函數(shù)y=Asin(ωx+ϕ)+h的表達(dá)式;
(2)如果某船的吃水深度(船底與水面的距離)為7m,船舶安全航行時(shí)船底與海底的距離不少于4.5m.那么該船在什么時(shí)間段能夠進(jìn)港?若該船欲當(dāng)天安全離港,它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間.(忽略離港所需時(shí)間)
(3)若某船吃水深度為8m,安全間隙(船底與海底的距離)為2.5.該船在3:00開始卸貨,吃水深度以每小時(shí)0.5m的速度減少,那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨,駛向較安全的水域?

【答案】分析:(1)根據(jù)數(shù)據(jù),,可得A=3,h=10,由T=15-3=12,可求ω=將點(diǎn)(3,13)代入可得ϕ=0,從而可求函數(shù)的表達(dá)式;
(2)由題意,水深y≥4.5+7,即,從而可求t∈[1,5]或t∈[13,17];
(3)設(shè)在時(shí)刻x船舶安全水深為y,則y=10.5-0.5(x-3)(x≥3),若使船舶安全,則,從而可得3≤x≤7,即該船在7:00必須停止卸貨,駛向較安全的水域.
解答:解:(1)根據(jù)數(shù)據(jù),
∴A=3,h=10,
T=15-3=12,
,
∴y=3sin(x+ϕ)+10
將點(diǎn)(3,13)代入可得ϕ=0
∴函數(shù)的表達(dá)式為
(2)由題意,水深y≥4.5+7,
,
,
∴t∈[1,5]或t∈[13,17];
所以,該船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全進(jìn)港.
若欲于當(dāng)天安全離港,它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)16小時(shí).
(3)設(shè)在時(shí)刻x船舶安全水深為y,則y=10.5-0.5(x-3)(x≥3),
這時(shí)水深,
若使船舶安全,則,
,
∴3≤x≤7,
即該船在7:00必須停止卸貨,駛向較安全的水域.
點(diǎn)評(píng):本題以表格數(shù)據(jù)為載體,考查三角函數(shù)模型的構(gòu)建,考查解三角不等式,同時(shí)考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某港口的水深y(m)是時(shí)間t (0≤t≤24,單位:h)的函數(shù),下表是該港口某一天從0:00時(shí)至24:00時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系:
t(h) 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00
y(m) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
經(jīng)長(zhǎng)時(shí)間的觀察,水深y與t的關(guān)系可以用y=Asin(ωx+?)+h擬合.根據(jù)當(dāng)天的數(shù)據(jù),完成下面的問(wèn)題:
(1)求出當(dāng)天的擬合函數(shù)y=Asin(ωx+?)+h的表達(dá)式;
(2)如果某船的吃水深度(船底與水面的距離)為7m,船舶安全航行時(shí)船底與海底的距離不少于4.5m.那么該船在什么時(shí)間段能夠進(jìn)港?若該船欲當(dāng)天安全離港,它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間.(忽略離港所需時(shí)間)
(3)若某船吃水深度為8m,安全間隙(船底與海底的距離)為2.5.該船在3:00開始卸貨,吃水深度以每小時(shí)0.5m的速度減少,那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨,駛向較安全的水域?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下表給出的是某港口在某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深.
時(shí)刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00
水深/m 5.0 8.0 5.0 2.0 5.0 8.0 5.0 2.0 5.0
(1)若該港口的水深y(m)和時(shí)刻t(0≤t≤24)的關(guān)系可用函數(shù)y=Asin(ωt)+b(其中A>0,ω>0,b∈R)來(lái)近似描述,求A,ω,b的值;
(2)若一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4m,安全條例規(guī)定至少要有2.5m的安全間隙(船底與海底的距離),試用(1)中的函數(shù)關(guān)系判斷該船何時(shí)能進(jìn)入港口?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

下表給出的是某港口在某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深.
時(shí)刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00
水深/m5.08.05.02.05.08.05.02.05.0
(1)若該港口的水深y(m)和時(shí)刻t(0≤t≤24)的關(guān)系可用函數(shù)y=Asin(ωt)+b(其中A>0,ω>0,b∈R)來(lái)近似描述,求A,ω,b的值;
(2)若一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4m,安全條例規(guī)定至少要有2.5m的安全間隙(船底與海底的距離),試用(1)中的函數(shù)關(guān)系判斷該船何時(shí)能進(jìn)入港口?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

某港口的水深y(m)是時(shí)間t (0≤t≤24,單位:h)的函數(shù),下表是該港口某一天從0:00時(shí)至24:00時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系:
t(h)0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00
y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0
經(jīng)長(zhǎng)時(shí)間的觀察,水深y與t的關(guān)系可以用y=Asin(ωx+?)+h擬合.根據(jù)當(dāng)天的數(shù)據(jù),完成下面的問(wèn)題:
(1)求出當(dāng)天的擬合函數(shù)y=Asin(ωx+?)+h的表達(dá)式;
(2)如果某船的吃水深度(船底與水面的距離)為7m,船舶安全航行時(shí)船底與海底的距離不少于4.5m.那么該船在什么時(shí)間段能夠進(jìn)港?若該船欲當(dāng)天安全離港,它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間.(忽略離港所需時(shí)間)
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